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＞いったいこの巨額の補償は、日本政府が支払うべきものなのでしょうか？韓国政府が支払うべきものなのでしょうか？

韓国政府が当然支払うべきものでしょう。
日韓請求権交渉の過程において、韓国政府は次のように主張しています。
「1961「8項目請求権」をめぐって、韓国は補償を要求。日本は被害者についても可能なかぎり措置しようと思う、個人ベースで支払うほうがよいと述べた。韓国は「国が代わって解決したい、補償は韓国内で措置する、支払いは韓国政府の手で行う」と主張。日本は人数、金額、被害程度の調査を韓国に求めた。」
http://www.zephyr.dti.ne.jp/~kj8899/nikkan-shori.html
「はっきりさせる会」という市民団体がご親切にも資料提供してくれています。

このように日韓請求問題および補償問題は法的・人道的にも完全に決着がついているのですが、なぜかいつまでも蒸し返されるのです。それも日本人（一部）自身の手によって。
その原因としては、別トピでも述べられたように公明党の韓国信者増加という党益を動機としたものによるものですし、左翼系法曹関係者の手によるものでもある。
下の方でアジャパー氏が述べているように、なぜか法曹関係には、「戦後補償」運動を利用して現在の政治体制を打倒しようとする左翼が多い。
ためしに「日本民主法律家協会」をキーワードに検索してみて下さい。
また、外務省にも元アジア局中国課長の浅井基文氏などマルキストが多いようですね。
あと、いまだにGHQの思想統制が根付いているため、日本国民から国益侵害に反対する有効な世論が形成されない、という理由もあるでしょう。