北朝鮮

＞韓国語といったらいいのか朝鮮語といったらいいのか

もともとは同じ言語です。
現在どう呼ぶかは相手に合わせればよいと思う。
面倒ならハングルと言えばよい。

>日本みたいに標準語って設定されているんですか?

国家である以上標準語の設定はあるはずです。
もともと一つの標準語が国家の分断の歴史を重ねるたび少しずつ開きが出てくる。
例えば李さんを南はイさん、北はリさんと発音する。
発音方法、文法など独自の語学として変化、改良されている。

南北の方言の違いは分断以前から当然あります。

北のピョンヤンと地方ではなまりの差があるし南のソウルとプサンの差もある。

最近の韓国映画、ドラマでよく耳にする若い女性の発音は十数年前まではあまり聞かなかった流行の発音と思える。