台湾の情報服務中心

台北から台東までの切符は前日でも買えるものでしょうか?
はい、購入可能です。指定席となりますが、空席あれば当日も購入できます。
ただ台湾の週休二日制度を行なっていますので、週末などは、注意してください。台北駅などでは、金曜日の午後など「長い列を・・・・」乗車券購入にも時間かかります。
台湾鉄路局のホームページでも時刻の検索や指定席購入できます。でも海外より英文のページを使って購入可能となっていてもシステムの問題より購入できないようです。
http://www.railway.gov.tw/台湾鉄路局ホームページ「中国語」
台湾全島一周切符？
あります。実際の購入経験ないのですが、台北を基点に、台中-高雄-台東-花蓮-台北と一周できます。

日本より購入できたとしたら航空券を手配した代理店さんです。
もし買えても「手数料」を取られます。
もし台湾滞在しているホテルへチケット購入を頼んでも手数料を取ります。
自分で、購入するとしたら日時と列車種別と区間を事前に、調べてください。
台北駅構内の観光案内センターでは、英語も通じますので、観光や乗車券の購入方法もアドバイスしてくれます。時々ですが、日本語も話す職員も在籍しているみたいです。