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安いのが、ドミトリータイプです。
旅社も安いですよ。
日本円2千円前後だと限定されてしまいます。
私の場合、ホテルを使います。
日本の某観光ガイド○○の歩き方などでは、安い宿も紹介されていますので、ご参考に・・・。
空港付近だと泊まる所もありません、台北市内へ行く事になります。
空港の所在地の桃園県の桃園市へ行くのも良いですが、交通の問題などを考えても台北市内へ行く事をお勧めします。

http://www.taipeinavi.com/hotel/hotel.php?id=71
http://www.taipeinavi.com/hotel/hotel.php?id=56
http://www.taipeinavi.com/hotel/hotel.php?id=56

安い宿を紹介されています。

ちなみに、旅社、賓館も安い宿ですが、賓館だとラブホテル兼用となるケースもあります。飯店でも休憩の利用も兼ねている事もあるので、女性の滞在だと注意も必要だと思います。
安全を考えると高い宿になりますが、台北を慣れていないと宿の価格も考えてみてください。