竹島

>>一般論として、国家が私人の行為を追認するのはＯＫですが
>どの時点で効力が発生するか説明してください。

国家からの授権があった時点でしょうね。ただし、効果が遡及するかは知りません。それから、竹島の場合はおそらく関係ありません。

>>中井の行為がどうであろうと、日本の先占による領土取得には全く問題ありません。

>先占による領有権取得の成立要件を全て挙げ、
>その要件が満たされている根拠となる事実を挙げてください

１国家が領有意志を持って
２平穏かつ公然と支配すること。
先占の成立要件はこれだけです。官報による公示も他国への通告も必要ありません。

事実は
領土編入の閣議決定、中井に対する漁業権の付与、仮望楼の建築等です。

これで他国から何の抗議も無いのだから、日本の領土編入手続きは完璧です。それ以前の経緯なんて無意味でしょうね。それから韓国がいつまで日本に対して抗議可能であったかという問題ですが、明治３９年７月２日に高宗が伊藤博文に対して崔益鉉の引き渡しを要求しています。竹島編入が明治３８年２月ですから、少なくともほぼ１年３月後も抗議は可能であったと思われます。