支那は支那ではないですか

＞支那という字が変換されなくて、入力に苦労するなあ。

そうですね。手書きでは問題ありません。「しな」で「支那」が出ないようなコンピュータの変換機能を作った技師が馬鹿なのです。
ちなみに手持ちのパソコンでは、「もうこ」で「蒙古」は出ましたが「猛虎」は出ません。

＞中国は、中国と呼んでほしいのだから、中国と呼んだらよいのでは？

フランス人は「中国」と呼ばずに「Chine」と呼んでいます。
「中国と呼んで欲しい」と言ったところで、日本人はChugokuとは呼んでもZhongguoとは呼ばない。

＞日本と中国は漢字も共
＞ 　 通だし、そのまま呼んであげればいいんじゃない？

シナ文字が共通だからと言ってシナを「中国」と呼ばねばならない理由はありません。
日中でシナ文字が共通というのは幻想です。
「モーニング娘。」がシナで「早安少女組」になるのだから、シナは固有名詞を平気で言い換え、書き換えるわけです。

＞支那にこだわる必要あるのかな？

「中国」にこだわる必要があるのかな？